Per chi non è un matematico, può risultare difficile comprendere come la lettera “i” possa rappresentare un numero che sembra non esistere e che viene definito “immaginario”. Tuttavia, aprendo la mente a questo modo di pensare, si apre un mondo completamente nuovo.
Il fascino dei numeri complessi
I numeri complessi sono un’area della matematica che si occupa di numeri che hanno una componente immaginaria. A differenza dei più familiari numeri reali – come interi positivi e negativi, frazioni, radici quadrate e cubiche – i numeri complessi sono costituiti sia da numeri reali che dal numero immaginario i, che è la radice quadrata di -1. Ricorda, la radice quadrata di un numero rappresenta un numero il cui quadrato è il numero originale. Un numero positivo moltiplicato per se stesso è positivo. Un numero negativo moltiplicato per se stesso è positivo. Il numero immaginario i rappresenta un numero che, in qualche modo, quando moltiplicato per se stesso, risulta negativo.
Superare lo scetticismo
Le conversazioni sui numeri immaginari con chi non è matematico spesso portano a obiezioni come: “Ma quei numeri non esistono davvero, vero?” Se sei uno di questi scettici, non sei solo. Anche i giganti della matematica hanno trovato difficile accettare i numeri complessi. Ad esempio, chiamare -√1 “immaginario” non aiuta a far capire che non è qualcosa di fantastico. Il matematico Gerolamo Cardano, nel suo libro del 1545 sui numeri complessi, li ha definiti “sottili quanto inutili”.
Il potere della formula quadratica
Forse al liceo hai incontrato la formula quadratica, che fornisce soluzioni alle equazioni quadratiche. Forse il tuo insegnante di liceo non voleva affrontare la questione di cosa succede quando (b² – 4ac) – l’espressione sotto la radice quadrata nella formula quadratica – è negativa. Potrebbero aver messo da parte questo argomento come qualcosa da affrontare all’università. La formula quadratica può essere applicata in più casi quando l’espressione sotto il radicale è consentita essere negativa. Tuttavia, se sei disposto a credere nell’esistenza delle radici quadrate dei numeri negativi, otterrai soluzioni per un intero nuovo insieme di equazioni quadratiche. Infatti, un intero mondo sorprendente e utile della matematica si apre: il mondo dei numeri complessi.
Numeri complessi e semplificazione della matematica
Cosa ottieni per il tuo salto di fede nei numeri complessi? Per prima cosa, la trigonometria diventa molto più semplice. Invece di memorizzare diverse formule trigonometriche complicate, hai bisogno solo di un’equazione per governarle tutte: la formula di Eulero. Con buone abilità algebriche, puoi manipolare la formula di Eulero per vedere che la maggior parte delle formule utilizzate per misurare la lunghezza o l’angolo di un triangolo diventano un gioco da ragazzi. La formula di Eulero si basa sui numeri immaginari.
Anche il calcolo diventa più semplice. Come hanno osservato matematici come John Wallis, che ha coniato il termine “numero immaginario”, e altri, i numeri complessi rendono facili da risolvere integrali apparentemente impossibili e misurare l’area sotto curve complesse. I numeri complessi giocano anche un ruolo nella comprensione di tutte le possibili figure geometriche che puoi costruire con un righello e un compasso.
Fonte: Science Alert
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